球与花瓶悖论又称为罗斯.利特尔伍德悖论，该悖论大意是说：假设有无穷多个球和一个无穷大的花瓶，执行下述操作：每次往瓶中放入10个球的同时取出一个球，执行无穷次操作，问，花瓶中有多少个球？
当然，很多“数学人士”对于“无穷次操作”这个词语很是敏感，他们会反反复复的告诉你在数学中不存在“无穷次操作”这种操作，而且，操作无穷次需要无穷长的时间，这显然是不可能的。
于是罗斯和利特尔伍德先生将“无穷次操作”压缩到1分钟的时间里全部完成（注：原文中是两分钟时间完成，即倒数两分钟到正午12点，但本帖将2分钟改为1分钟与原文效果相同），即当时间为1/2钟执行第一次操作，当时间为3/4分钟执行第二次操作，当时间为7/8分钟执行第三次操作......问，当时间为1分钟时，瓶中剩多少个球。
说明一下：这道题会因为放球取球的方法不同而有不同的答案，例如，第一次放入1至10号球取出10号球，第二次放入11至20号球取出20号球......则当时间为1分钟时，瓶中会剩无穷多个球。
但数学家Allis和Koetsier的另外一种放球取球的方法却会得出令人意想不到的答案，即：如果第一次放1至10号球取出1号球，第二次放入11至20号球取出2号球，第三次放入21至30号球取出3号.......则当时间至达1分钟时，瓶中的球数为0。
（重申一下，放球取球的方法不同会导致不同的答案，但这些答案并不是错误的）
在本帖中，不考虑其他的放球取球的方法，单只考虑这两位数学家Allis和Koetsier的解题方法进行深入分析，便可以彻底暴露出现代数学中关于无穷理论的致命逻辑矛盾。
首先来看，两位数学家的解答是正确的吗？可以说，在现有数学理论特别是集合论中，两位数学家的解答是正确无误的，理由是：从放球来看，任何一个自然数编号的球全都会放入到瓶中，即：1/2分钟时放进1至10号球，3/4分钟时放入11至20号球，7/8分钟时放入21至30号球......在1分钟的时间里，没有哪一个自然数编号的球是不能被放入到瓶中的（否则请说出哪一个自然数编号的球没放入到瓶中），其次，从取球来看，任何一个放入到瓶中的球在这1分钟的时间里全都会被一个不漏的全都被取出来，即1/2分钟时1号球被取出来，3/4分钟时2号球被取出来，7/8分钟分钟时3号球被取出来......当时间为1分钟时，任何一个自然数编号的球都会从瓶中取出来，所以当时间为1分钟是，瓶里没有球，即球数为0。
再说一遍，上述推论在现有数学理论中是正确无误的，否则请说明错在哪里。
我们将上述推论设为推论A，即当时间为1分钟时，瓶中球数为0。
下面做一个与之完全相反的推论B：当时间为1分钟时，瓶中球数不能为0.
推论如下：从放球取球的全过程来看，任何一次操作，都是放入10个球同时取出1个球的操作，即任何一次操作，都能至少保证瓶中的球数不能低于9个，所以全过程的操作都能保证瓶中球数不能为0，假如说瓶中球数为0，那么可能会有这样的操作，即：某一些放球后，已经将所有球全都放进瓶中了，再也无球可放，之后至少再做9次以上取球的操作（单纯取球不放球的操作），才有可能将瓶中的球全部拿空，但这样的操作显然是违反了题目中的操作规则，也不可能有这样的操作，所以瓶中的球数一定不是0。
综上所述：推论A中瓶中球数为0，推论B中瓶中球数一定不能为0，推论A与推论B二者之间必然一真一假，二者不能同为真命题，但在现有的数学理论之下，推论A与推论B却同时成立，这恰恰说明现代数学理论在存在着难以解决的致命矛盾。